Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (x) - x^{3} \cos (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - x^{3} \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3} \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + 1 (x^{3} (\sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Etapa 4.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Etapa 4.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 4.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.5.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 4.5.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$