Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\sqrt[3]{x}) - \sqrt[3]{\cos (x)}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (\sqrt[3]{x}) - \sqrt[3]{\cos (x)}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.10

Combine $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 2.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{3}$ e ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Etapa 3.11

Combine $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - - \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3}$

Etapa 3.12

Mova ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - - \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.14

Multiplique $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Separe as frações.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2

Converta de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ em ${\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3} {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.3

Combine $\frac{\sin (x)}{3}$ e ${\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sec (x)}^{\frac{2}{3}} \sin (x)}{3}$