Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x)$ .

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Etapa 3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Etapa 4.2

Multiplique $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{1}{\cos (3 x)}$ e $3$ .

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{3}{\cos (3 x)}$ e $\cos (\sec (3 x))$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Etapa 4.3

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Etapa 4.4.2

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

Etapa 4.4.3

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

Etapa 4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

Etapa 4.5

Fatore $\cos (3 x)$ de $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Etapa 4.6

Separe as frações.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

Etapa 4.7

Reescreva $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ como um produto.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Etapa 4.8

Escreva $\cos (\sec (3 x))$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

Etapa 4.9

Simplifique.

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Etapa 4.9.1

Divida $\cos (\sec (3 x))$ por $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Etapa 4.9.2

Converta de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ em $\sec (3 x)$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Etapa 4.10

Separe as frações.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Etapa 4.11

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Etapa 4.12

Divida $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$