Cálculo Exemplos

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ é $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ , em que $f (n) = n$ e $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ é $f' (g (n)) g' (n)$ , em que $f (n) = \ln (n)$ e $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ e $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{x}{n}$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $1$ em relação a $n$ é $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.5

Como $x$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $\frac{x}{n}$ em relação a $n$ é $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Combine $x$ e $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.6.2

Reescreva $\frac{1}{n}$ como $n^{- 1}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 3.8

Combine $\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ e $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 4

Multiplique $n$ por $n^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 4.2

Multiplique $n^{- 2}$ por $n$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 4.3

Some $- 2$ e $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 5

Mova $n^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Etapa 7

Multiplique $\ln (1 + \frac{x}{n})$ por $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Etapa 8

Para escrever $\ln (1 + \frac{x}{n})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Etapa 9

Combine $\ln (1 + \frac{x}{n})$ e $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.1.1.1

Multiplique $n$ por $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 11.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.3.2

Reordene os fatores em $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.4

Combine os termos.

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Etapa 11.4.1

Multiplique $n$ por $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Etapa 11.4.2

Combine $\frac{x}{n}$ e $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Etapa 11.4.3

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 11.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Etapa 11.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Etapa 11.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Etapa 11.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Etapa 11.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Etapa 11.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$