Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x) \cos (\ln (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\ln (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sin (\ln (x))$ .

$\ln (x) (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Combine $\cos (\ln (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \frac{\cos (\ln (x))}{x}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x}$