Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.5

Combine $\arcsin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}] + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{e^{x}}{x}$ por $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.8

Some $- \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Some $\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$