Cálculo Exemplos

$f (x) = \log (\frac{1}{\sin (4 x)})$

Etapa 1

Converta de $\frac{1}{\sin (4 x)}$ em $\csc (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\log (\csc (4 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \csc (4 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\log (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (4 x)$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)}$ e $\csc (4 x)$ .

$- \frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $\cot (4 x)$ e $\frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)}$ .

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $\csc (4 x)$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Combine frações.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.2

Combine $- 4$ e $\frac{\cot (4 x)}{\ln (10)}$ .

$\frac{- 4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \cdot 1$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)}$