Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 5$ .

$\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{x + 5}$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.7

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2 x - 1}$ e $2$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1)$

Etapa 4.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \cdot - 1$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{4 - x}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{- 1}{4 - x}$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Para escrever $\frac{1}{x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.2

Para escrever $\frac{2}{2 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 5) (2 x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 5}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{2}{2 x - 1}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.3.3

Reordene os fatores de $(x + 5) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.5

Para escrever $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x}$

Etapa 5.6

Para escrever $- \frac{1}{4 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Etapa 5.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.7.1

Multiplique $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $\frac{1}{4 - x}$ por $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Etapa 5.7.3

Reordene os fatores de $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Etapa 5.7.4

Reordene os fatores de $(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x) - (2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$