Cálculo Exemplos

$f (x) = \log (\sin (3 x^{2}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \sin (3 x^{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\cos (3 x^{2})$ e $\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Combine $3$ e $\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Etapa 3.5

Combine frações.

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Etapa 3.5.1

Combine $2$ e $\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2 (3 \cos (3 x^{2}))}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} x$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} x$

Etapa 3.5.3

Combine $\frac{6 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ e $x$ .

$\frac{6 \cos (3 x^{2}) x}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores em $6 \cos (3 x^{2}) x$ .

$\frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$

Etapa 4.2

Separe as frações.

$\frac{6 x}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2})}$

Etapa 4.3

Converta de $\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2})}$ em $\cot (3 x^{2})$ .

$\frac{6 x}{\ln (10)} \cot (3 x^{2})$

Etapa 4.4

Combine $\frac{6 x}{\ln (10)}$ e $\cot (3 x^{2})$ .

$\frac{6 x \cot (3 x^{2})}{\ln (10)}$