Cálculo Exemplos

$f (x) = \log (x^{2} - \frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + 0)$

Etapa 4.5.2

Some $2 x + x^{- 2}$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{1}{x} \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.3

Combine $\ln (10)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.4

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.1

Para escrever $x^{2} \ln (10)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x}{x} - \frac{\ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x - \ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.1

Mova $x$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x \cdot x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1} x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1 + 2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Etapa 5.5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) (1 \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)})$

Etapa 5.7

Multiplique $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ por $1$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.8

Multiplique $2 x + \frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ .

$\frac{(2 x + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(\frac{2 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.9.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} x) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.9.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 x^{2 + 1} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.9.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.10

Combine $\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.11

Reduza a expressão $\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.11.1

Fatore $x$ de $(2 x^{3} + 1) x$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.11.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.11.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.11.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Etapa 5.13

Multiplique $\frac{2 x^{3} + 1}{x}$ por $\frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ .

$\frac{2 x^{3} + 1}{x (x^{3} \ln (10) - \ln (10))}$