Cálculo Exemplos

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ em relação a $z$ é $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ é $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , em que $f (z) = \cos (z)$ e $g (z) = z + 1$ .

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\cos (z)$ em relação a $z$ é $- \sin (z)$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z + 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine frações.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine $2$ e $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- \sin (z)$ por $1$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$