Cálculo Exemplos

$f (z) = {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Etapa 6.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Etapa 6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Combine $3$ e $\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 8.2.2

Combine ${(x^{2} - 1)}^{2}$ e $\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 8.2.3

Mova $9$ para a esquerda de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Etapa 8.6

Simplifique os termos.

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Etapa 8.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 8.6.2

Combine $2$ e $\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Etapa 8.6.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Etapa 8.6.4

Combine $\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $x$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}) x}{2}$

Etapa 8.6.5

Fatore $2$ de $18 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Etapa 9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Etapa 9.4

Divida $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 10

Reordene os fatores de $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$9 x {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}$