Cálculo Exemplos

$f (z) = 3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}]$ .

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Etapa 2.1

Como $3 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y^{4}$ em relação a $x$ é $3 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 y^{4} + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x z^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.2

Como $4 z^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x z^{2}$ em relação a $x$ é $4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.5

Combine $4$ e $\frac{1}{4 x z^{2}}$ .

$3 y^{4} + \frac{4}{4 x z^{2}} z^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.6

Combine $\frac{4}{4 x z^{2}}$ e $z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum.

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.7.2

Reescreva a expressão.

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $z^{2}$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 3.8.2

Reescreva a expressão.

$3 y^{4} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 6 y z^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x y z^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Etapa 5

Como $6 y z$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y z$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + 0$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Some $3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$ e $0$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$3 y^{4} - 6 z^{2} y + \frac{1}{x}$