Cálculo Exemplos

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 11 x + 5 y$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{11 x + 5 y}$ e $y$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 x + 5 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.3

Como $11 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $11 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.5

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.6

Combine $5$ e $\frac{y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ por $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

Etapa 3.10

Multiplique $\ln (11 x + 5 y)$ por $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

Etapa 4

Para escrever $\ln (11 x + 5 y)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.1.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.4.1

Simplifique $11 \ln (11 x + 5 y)$ movendo $11$ para dentro do logaritmo.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.1.1.4.2

Simplifique $5 \ln (11 x + 5 y)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.1.2

Reordene os fatores em $5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ .

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$