Cálculo Exemplos

$f (y) = \sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Etapa 2

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Etapa 3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{d}{d x} [2 x {(8 x + 2)}^{3}]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(8 x + 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 x + 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(8 x + 2)}^{3}] + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 x + 2$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x + 2$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + 0)) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.6.1

Some $8$ e $0$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \cdot 8) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.6.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 7.8

Multiplique ${(8 x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Etapa 8.2

Multiplique $24$ por $2$ .

$48 (x ({(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Etapa 8.3

Fatore $2 {(8 x + 2)}^{2}$ de $48 x {(8 x + 2)}^{2} + 2 {(8 x + 2)}^{3}$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $2 {(8 x + 2)}^{2}$ de $48 x {(8 x + 2)}^{2}$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Etapa 8.3.2

Fatore $2 {(8 x + 2)}^{2}$ de $2 {(8 x + 2)}^{3}$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$

Etapa 8.3.3

Fatore $2 {(8 x + 2)}^{2}$ de $2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x + 8 x + 2)$

Etapa 8.4

Some $24 x$ e $8 x$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (32 x + 2)$

Etapa 8.5

Reescreva ${(8 x + 2)}^{2}$ como $(8 x + 2) (8 x + 2)$ .

$2 ((8 x + 2) (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Etapa 8.6

Expanda $(8 x + 2) (8 x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (8 x (8 x + 2) + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Etapa 8.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Etapa 8.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.7.1.2.1

Mova $x$ .

$2 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.4

Multiplique $2$ por $8$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.5

Multiplique $8$ por $2$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 4) (32 x + 2)$

Etapa 8.7.2

Some $16 x$ e $16 x$ .

$2 (64 x^{2} + 32 x + 4) (32 x + 2)$

Etapa 8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (64 x^{2}) + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Etapa 8.9

Simplifique.

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Etapa 8.9.1

Multiplique $64$ por $2$ .

$(128 x^{2} + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Etapa 8.9.2

Multiplique $32$ por $2$ .

$(128 x^{2} + 64 x + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Etapa 8.9.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$

Etapa 8.10

Expanda $(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$128 x^{2} (32 x) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$128 \cdot 32 x^{2} x + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.11.2.1

Mova $x$ .

$128 \cdot 32 (x \cdot x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 8.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$128 \cdot 32 (x^{1} x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$128 \cdot 32 x^{1 + 2} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$128 \cdot 32 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.3

Multiplique $128$ por $32$ .

$4096 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.4

Multiplique $2$ por $128$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x \cdot x + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.11.6.1

Mova $x$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 (x \cdot x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.7

Multiplique $64$ por $32$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.8

Multiplique $2$ por $64$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.9

Multiplique $32$ por $8$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 8 \cdot 2$

Etapa 8.11.10

Multiplique $8$ por $2$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

Etapa 8.12

Some $256 x^{2}$ e $2048 x^{2}$ .

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

Etapa 8.13

Some $128 x$ e $256 x$ .

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 384 x + 16$