Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x {(x - 4)}^{3} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.7

Some $1$ e $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.9

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Some $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ e $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Use o teorema binomial.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $16$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Etapa 4.3.3

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

Etapa 4.3.4

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Etapa 4.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Etapa 4.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 4.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 4.3.5.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 4.3.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

Etapa 4.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.7.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

Etapa 4.3.7.3

Multiplique $16$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

Etapa 4.3.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.8.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.8.1.1

Mova $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

Etapa 4.3.8.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

Etapa 4.3.8.2

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Etapa 4.4

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

Etapa 4.5

Subtraia $24 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

Etapa 4.6

Some $48 x$ e $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$