Cálculo Exemplos

$f (x) = x (1 - \frac{4}{x + 3})$

Etapa 1

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{x + 3})]$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x \frac{x + 3 - 4}{x + 3}]$

Etapa 1.3

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{x - 1}{x + 3}]$

Etapa 1.4

Combine $x$ e $\frac{x - 1}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 1)}{x + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x (x - 1)$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x (x - 1)] - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x + 3) (x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \cdot 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(x + 3) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.2

Some $- x$ e $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 1 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 3 + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.3

Some $5 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$