Cálculo Exemplos

$f (x) = x \cdot {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 - 3 x$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2

Combine ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.3

Mova ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12

Combine frações.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.2

Combine $3$ e $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1 + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14

Multiplique $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 16

Multiplique ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 17

Para escrever ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18

Combine ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20

Multiplique ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 20.1

Mova ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 21

Simplifique ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (7 - 3 x) \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 22

Mova $2$ para a esquerda de $7 - 3 x$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2 \cdot 7 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{3 x + 14 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 14 - 6 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Subtraia $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.4

Reescreva $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.6

Reescreva $- (3 x - 14)$ como $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 23.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$