Cálculo Exemplos

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.4

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.5

Como $- 0.1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.14

Combine $- 0.1$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.15

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.17

Subtraia $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.18

Combine $x$ e $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.19

Mova $0.1$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.20

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.21.5

Some $- 1$ e $2$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.22

Multiplique $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.23

Para escrever $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.24

Combine $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.26

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.27

Subtraia $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 2.28

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (35 x + 500)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $35 x + 500$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

Etapa 3.3

Como $35$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $35 x$ em relação a $x$ é $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

Etapa 3.5

Como $500$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $500$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

Etapa 3.6

Multiplique $35$ por $1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

Etapa 3.7

Some $35$ e $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

Etapa 3.8

Multiplique $- 1$ por $35$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $35$ de $50$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $0.3$ de $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 4.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 4.3.3

Separe as frações.

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Etapa 4.3.4

Divida $0.3$ por $2$ .

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Etapa 4.3.5

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.3.6

Multiplique $0.15$ por $- 1$ .

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$