Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{1 + 3 e^{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 3 e^{x}}$ como ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 3 e^{x}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.2.2

Mova ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.2.3

Combine $\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.7

Combine $3$ e $\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 10.3

Multiplique ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 11

Para escrever ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Combine ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Multiplique ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.1

Mova ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Simplifique ${(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + (1 + 3 e^{x}) \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Mova $2$ para a esquerda de $1 + 3 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot (1 + 3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot 1 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 6 e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.4

Reordene os fatores em $\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$