Cálculo Exemplos

$f (x) = arcsec (x) - 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $arcsec (x) - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $arcsec (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.15

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.16

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.17

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.18

Combine $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.19

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.20

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.21

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.22

Combine $x$ e $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.23

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.24

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.26

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.27

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28

Para escrever ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.30

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.30.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.30.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.30.3

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.30.4

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.31

Simplifique ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.32

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.33

Combine $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.34

Mova ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Etapa 2.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 1$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.3.1

Mova $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $x^{2} - 1$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.4.2.3.2.1

Eleve $x^{2} - 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3.5

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.4

Some $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores em $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 = 0$

Etapa 4

Simplifique $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ .

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.2

Mova $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.3

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.4

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7

Reescreva ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 4.1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.3.7.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.4.1

Reescreva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.2

Mova $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.3

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.4

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7

Reescreva ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 4.1.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.7.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Etapa 4.1.4.8

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 4.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.2.1

Mova $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.4

Expanda $(- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} (x - 1) - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.4.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 0 + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 4.4.5.3

Some $- 2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 5

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 1.09868411$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 1.09868411$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 {(1.09868411)}^{2} - 1}{{(1.09868411)}^{2} {({(1.09868411)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $1.09868411$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1.20710678 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $2$ por $1.20710678$ .

$- \frac{2.41421356 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $1$ de $2.41421356$ .

$- \frac{1.41421356}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Eleve $1.09868411$ à potência de $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Eleve $1.09868411$ à potência de $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {(1.20710678 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.3

Subtraia $1$ de $1.20710678$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.20710678}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.4

Reescreva $0.20710678$ como ${0.45508986}^{2}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {({0.45508986}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.6.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.6.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{3}}$

Etapa 7.2.7

Eleve $0.45508986$ à potência de $3$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot 0.09425219}$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $1.20710678$ por $0.09425219$ .

$- \frac{1.41421356}{0.11377246}$

Etapa 7.3.2

Divida $1.41421356$ por $0.11377246$ .

$- 1 \cdot 12.43019179$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $12.43019179$ .

$- 12.43019179$

Etapa 8

$x = 1.09868411$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1.09868411$ é um máximo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = 1.09868411$ .

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.09868411$ na expressão.

$f (1.09868411) = arcsec (1.09868411) - 2 \cdot 1.09868411$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Avalie $arcsec (1.09868411)$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2 \cdot 1.09868411$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1.09868411$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2.19736822$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2.19736822$ de $0.42707858$ .

$f (1.09868411) = - 1.77028964$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 1.77028964$ .

$y = - 1.77028964$

Etapa 10

Esses são os extremos locais para $f (x) = arcsec (x) - 2 x$ .

$(1.09868411, - 1.77028964)$ é um máximo local

Etapa 11