Cálculo Exemplos

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x - 3 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a - 3 - 3 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Etapa 2.1.2

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Etapa 2.1.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Etapa 2.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Etapa 2.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Etapa 2.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x - 3 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $\ln (x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $a$ dos dois lados da equação.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Etapa 5.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 \ln (x) = - a + 3$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 \ln (x) = - a + 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Etapa 5.3.3.1.2

Divida $3$ por $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Etapa 5.6

Reescreva a equação como $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Etapa 9.2

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 9.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 9.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11