Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Etapa 1.2.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.3.1

Combine $6$ e $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Etapa 1.2.3.2

Combine $\frac{6}{1 + x^{12}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{12} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $12 x^{11}$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4

Multiplique $x^{5}$ por $x^{11}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.3

Some $11$ e $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.5

Combine $6$ e $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.1

Multiplique $x^{12}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.1.1

Mova $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.3

Some $4$ e $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $72 x^{16}$ de $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$6 x^{5} = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $6 x^{5} = 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $6 x^{5} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 5.3

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 42$ por $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $30$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1}$

Etapa 7.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 8

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 8.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 8.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 8.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Etapa 8.2.2.2.2

Some $4096$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.2.3.1

Multiplique $6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Etapa 8.2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Etapa 8.2.2.4

A resposta final é $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Etapa 8.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 8.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Etapa 8.3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Some $4096$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $6$ por $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Etapa 8.3.2.4

A resposta final é $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Etapa 8.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 9