Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Etapa 1.2.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Combine $\frac{5}{1 + x^{10}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{10} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $10 x^{9}$ e $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{9}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.3

Some $9$ e $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.5

Combine $5$ e $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.1

Multiplique $x^{10}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.3

Some $3$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $50 x^{13}$ de $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Fatore $10 x^{3}$ de $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

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Etapa 2.6.5.1

Fatore $10 x^{3}$ de $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.2

Fatore $10 x^{3}$ de $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.3

Fatore $10 x^{3}$ de $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.7

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.9

Reescreva $- (3 x^{10} - 2)$ como $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.11

Reordene os fatores em $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$5 x^{4} = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $5 x^{4} = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $5 x^{4} = 0$ por $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 5.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 20$ por $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Etapa 7.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$- 0$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 8

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 8.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 8.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 8.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Etapa 8.2.2.2.2

Some $1024$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Etapa 8.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.3.1

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Etapa 8.2.2.3.2

Cancele o fator comum de $80$ e $1025$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.3.2.1

Fatore $5$ de $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Etapa 8.2.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.3.2.2.1

Fatore $5$ de $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Etapa 8.2.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Etapa 8.2.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Etapa 8.2.2.4

A resposta final é $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Etapa 8.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Etapa 8.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Some $1024$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Etapa 8.3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.1

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Etapa 8.3.2.3.2

Cancele o fator comum de $80$ e $1025$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.2.1

Fatore $5$ de $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Etapa 8.3.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.2.2.1

Fatore $5$ de $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Etapa 8.3.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Etapa 8.3.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Etapa 8.3.2.4

A resposta final é $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Etapa 8.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 8.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 9