Cálculo Exemplos

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arcsin (x) - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.9

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.9.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.16

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.17

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.18

Combine $- 2$ e $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.19

Combine $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.20

Mova ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.21

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.22

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.22.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.22.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.22.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.25

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.26

Combine ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ e $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.27

Mova ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.28.1

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.28.1.1

Eleve $1 - x^{2}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.28.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

Etapa 4

Resolva $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

Etapa 4.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

Etapa 4.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ por $\sqrt{1 - x^{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ por $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 4.4

Resolva a equação.

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Etapa 4.4.1

Reescreva a equação como $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ .

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

Etapa 4.4.2

Divida cada termo em $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.4.2.1

Divida cada termo em $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.2.1.2

Divida $\sqrt{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique.

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

Etapa 7.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

Etapa 7.1.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 7.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Etapa 7.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 7.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.4

Some $- 3$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 9.3.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 9.3.7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 9.3.7.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 9.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 9.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 9.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

Etapa 9.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{3} \cdot 4$

Etapa 9.6

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 11.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 11.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.4

Some $- 3$ e $4$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 13.2.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 13.2.7.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 13.2.7.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Etapa 13.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

Etapa 13.3.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Etapa 13.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Etapa 13.3.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

Etapa 13.3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 13.3.3.4

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{3} \cdot 4$

Etapa 13.3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ é um máximo local

Etapa 17