Cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1.2

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cot (x) \csc (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.4

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.5

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.8

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.9

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Etapa 2.11

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2

Combine os termos.

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Etapa 2.12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.2

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.4

Multiplique $\csc^{3} (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \cot (x) \csc (x) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cot (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 6

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Etapa 6.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- \cot (x) \csc (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.5

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 1^{3}$

Etapa 9.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 1$

Etapa 9.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 10

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

${(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

${(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.6

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.7

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 13.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.7.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$0 + {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Etapa 13.1.9

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Etapa 13.1.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + {(- 1)}^{3}$

Etapa 13.1.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 - 1$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 14

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 15.2.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \csc (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ é um máximo local

Etapa 17