Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x + \sin (9 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.3.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Etapa 1.3.5

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 9 \cos (9 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Etapa 2.1.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \cos (9 x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Etapa 2.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Etapa 2.2.6

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Etapa 2.3

Subtraia $81 \sin (9 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Etapa 5

Divida cada termo em $9 \cos (9 x) = - 9$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $9 \cos (9 x) = - 9$ por $9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\cos (9 x)$ por $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $- 9$ por $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Etapa 6

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$9 x = \arccos (- 1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$9 x = π$

Etapa 8

Divida cada termo em $9 x = π$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $9 x = π$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Etapa 9

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$9 x = 2 π - π$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$9 x = π$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $9 x = π$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $9 x = π$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Etapa 11

A solução para a equação $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{9}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Etapa 13.1.2

Reescreva a expressão.

$- 81 \sin (π)$

Etapa 13.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 81 \sin (0)$

Etapa 13.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Etapa 13.4

Multiplique $- 81$ por $0$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{π}{9})$ na primeira derivada $9 + 9 \cos (9 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.2.1.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Etapa 14.2.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Etapa 14.2.2.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Etapa 14.2.2.2

Some $9$ e $9$ .

$f' (0) = 18$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $18$ .

$18$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{π}{9}, \infty)$ na primeira derivada $9 + 9 \cos (9 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.2.1.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Etapa 14.3.2.1.2

Avalie $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Etapa 14.3.2.1.3

Multiplique $9$ por $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Etapa 14.3.2.2

Subtraia $2.62924927$ de $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $6.37075072$ .

$6.37075072$

Etapa 14.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{π}{9}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 15