Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sec (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \tan (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sec (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.5.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 2.3.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.3.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Etapa 2.3.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Etapa 2.3.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 6

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 7