Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{7}{5}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{7}{5}$ e $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.8

Combine $9$ e $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 1.4

Como $10000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10000$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ e $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{63}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $\frac{63}{5}$ por $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $2$ por $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Etapa 2.3.11

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Etapa 2.3.12

Mova $x^{- \frac{3}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Etapa 4.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{7}{5}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.7

Combine $\frac{7}{5}$ e $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $9$ e $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Etapa 4.1.4

Como $10000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10000$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Some $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ e $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Etapa 4.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Etapa 5.2

Encontre um divisor comum $x^{\frac{2}{5}}$ que esteja presente em cada termo.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 5.3

Substitua $u$ por $x^{\frac{2}{5}}$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Etapa 5.4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $u$ de $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $u$ de $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $u$ de $\frac{63 u}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $u$ de $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Etapa 5.4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Etapa 5.4.3

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 5.4.4

Defina $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Defina $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ como igual a $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Etapa 5.4.4.2

Resolva $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Subtraia $\frac{63}{5}$ dos dois lados da equação.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Etapa 5.4.4.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1.1

Simplifique ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.3

Simplifique.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.1.1.4

Reordene os fatores em ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1

Simplifique ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Multiplique $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4

Divida cada termo em $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.4.1

Divida cada termo em $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4.3.2

Combine.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.4.3.3

Multiplique $63^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.5

A solução final são todos os valores que tornam $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5

Substitua $x$ por $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.6

Resolva $x^{\frac{2}{5}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Simplifique $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.6.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 5.6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm 0^{5}$

Etapa 5.6.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = \pm 0$

Etapa 5.6.2.2.1.4

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.7

Resolva $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Simplifique $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.7.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.8

Liste todas as soluções.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 5.9

Exclua as soluções que não tornam $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ verdadeira.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $25$ por $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- 10 + \frac{126}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $- 10$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 10.2.2.2

A resposta final é $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Etapa 10.3

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11