Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$2 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Etapa 2

Combine $2$ e $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5.5

Multiplique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{(1 - \sin (x)) {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 12

Multiplique $1 - \sin (x)$ por ${(1 - \sin (x))}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Multiplique $1 - \sin (x)$ por ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1

Eleve $1 - \sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1} {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1 + 2}}$

Etapa 12.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $1 (- \sin (x))$ .

$\frac{1 (- \sin (x)) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.2

Mova os parênteses.

$\frac{1 (- \sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.3

Adicione parênteses.

$\frac{1 (- (\sin (x) (2 \cos (x)))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.4

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{1 (- (2 \cdot \sin (x) \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{1 (- \sin (2 x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.6

Multiplique $- \sin (2 x)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.7

Mova os parênteses.

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.8

Reordene $2 \cos (x)$ e $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (x) (2 \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.9

Adicione parênteses.

$\frac{- \sin (2 x) - (\sin (x) (2 \cos (x))) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.10

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{- \sin (2 x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.11

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.12

Multiplique $- \sin (2 x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 13.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 1 \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.12.2

Multiplique $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.13

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.13.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.13.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 13.3.13.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.13.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 {\cos (x)}^{2 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.3.13.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Etapa 13.4

Reordene os termos.

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \sin (2 x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$