Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.3

Mova ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.15

Multiplique ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.1

Reordene os termos.

$(1 - 2 x) \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.16.2

Multiplique $1 - 2 x$ por $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.16.3

Para escrever ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.4

Combine ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.6.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.4

Multiplique ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.6.4.1

Mova ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.5

Simplifique ${(x - x^{2})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.9

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.10

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.11

Fatore $x$ de $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.6.11.1

Fatore $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x (- 4 x) + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.11.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{x (- 4 x) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.6.11.3

Fatore $x$ de $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.7

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.8

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (4 x) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.9

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.10

Reescreva $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.16.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x (4 x - 3)$ e $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.8.1

Multiplique $4 x - 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.6.8.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.12

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.12.3

Mova ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.12.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

Etapa 2.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.17

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Etapa 2.17.2

Multiplique $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Etapa 2.17.3

Mova $2$ para a esquerda de $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 \cdot (x - x^{2})}$

Etapa 2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.3

Mova $- 3$ para a esquerda de ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.5.2

Fatore $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.5.3

Fatore $2$ de $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.5.4

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.5.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.6

Combine $2$ e $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.8

Combine $\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 2.18.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.13

Multiplique $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.13.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.13.2

Combine $3$ e $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.15

Expanda $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 2.18.2.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.16.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2

Multiplique $- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.16.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.2

Combine $2$ e $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.4

Combine $\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.2.7

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.3

Multiplique $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.16.1.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.6

Multiplique $- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.16.1.6.1

Combine $x$ e $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.16.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.18

Subtraia $3 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.19

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.19.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.19.2

Fatore $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.19.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.20

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.21

Para escrever $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.22

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.22.1

Multiplique $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.22.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.1

Fatore $x$ de $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.1.3

Fatore $x$ de $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.4

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.8

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.9.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 4$ mais $- 6$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.24.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.24.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.25

Para escrever $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.26

Combine $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.28

Para escrever $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.29

Combine $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31

Reescreva $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.1

Multiplique $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.3

Multiplique ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.1.3.1

Mova ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.3.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.1.4

Simplifique $16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 2.18.2.31.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.9

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.10.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.10.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.11

Expanda $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.12.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.12.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.12.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 2.18.2.31.12.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.12.1.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.1.8

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.12.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.14

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15

Multiplique $- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.15.1

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.2

Multiplique ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.15.2.1

Mova ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.15.3

Simplifique $- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.17

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.18

Some $- 16 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.19

Subtraia $10 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.20

Some $6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.21

Subtraia $6 x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.22

Fatore $x$ de $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.31.22.1

Fatore $x$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.22.2

Fatore $x$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.22.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.22.4

Fatore $x$ de $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.2.31.22.5

Fatore $x$ de $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Etapa 2.18.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$

Etapa 2.18.3.2

Reescreva $\frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2 x^{2}})$

Etapa 2.18.3.3

Multiplique $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 x^{2})}$

Etapa 2.18.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) - 2 x^{2})}$

Etapa 2.18.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) + 2 x (- x))}$

Etapa 2.18.4.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (1) + 2 x (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 x (1 - x))}$

Etapa 2.18.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Etapa 2.18.5

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Etapa 2.18.6

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 12 x - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.7

Fatore $- 1$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 12 x - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.8

Fatore $- 1$ de $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.9

Fatore $- 1$ de $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x) - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.10

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.11

Fatore $- 1$ de $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.12

Reescreva $- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ como $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.18.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)})$

Etapa 2.18.15

Multiplique $\frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.15

Multiplique ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.1

Reordene os termos.

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.16.2

Multiplique $1 - 2 x$ por $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.16.3

Para escrever ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.4

Combine ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.6.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.4

Multiplique ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.6.4.1

Mova ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.5

Simplifique ${(x - x^{2})}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.9

Some $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.10

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.11

Fatore $x$ de $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.6.11.1

Fatore $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (- 4 x) + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.11.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.6.11.3

Fatore $x$ de $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.7

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.8

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.9

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.10

Reescreva $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.16.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (4 x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.3

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 5.3.3.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (4 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Etapa 5.4

Exclua as soluções que não tornam $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ verdadeira.

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x - x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x - x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.2

Fatore $4 u$ de $4 u - 4 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Fatore $4 u$ de $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.2.2

Fatore $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Etapa 6.3.3.1.2.3

Fatore $4 u$ de $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Etapa 6.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Etapa 6.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 6.3.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.3.4

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 6.3.3.4.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 6.3.3.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.3.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 6.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - x^{2} < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x - x^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Etapa 6.5.2.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Etapa 6.5.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Etapa 6.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 6.5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5.5

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 6.5.5.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 6.5.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 6.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 6.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 6.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

Etapa 6.5.8.1.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.5.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 6.5.8.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

Etapa 6.5.8.2.3

O lado esquerdo $0.25$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 6.5.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

Etapa 6.5.8.3.3

O lado esquerdo $- 12$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 6.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > 1$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$\frac{8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Fatore $8$ de $16$ .

$\frac{8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$\frac{\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 9 + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.7

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.8

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.10.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{\frac{9 - 18}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.10.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.11

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.12

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.14.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 9 + 6}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.14.2

Some $- 9$ e $6$ .

$\frac{\frac{- 3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{4 - 3}{4}}$

Etapa 9.3.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Etapa 9.3.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4}{4} {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.4.2

Combine $\frac{4}{4}$ e ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Etapa 9.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Etapa 9.3.6

Divida ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.7.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.7.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.7.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.8

Para escrever $\frac{3}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.9.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.9.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.11.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.11.2

Some $- 9$ e $12$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3.12

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{16}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 9.3.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.13.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 9.3.13.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 9.3.13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.13.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 9.3.13.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{1}}}$

Etapa 9.3.13.4

Avalie o expoente.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.4

Reescreva a expressão.

$- 3 \frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.6

Combine $- 3$ e $\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

$x = \frac{3}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3}{4}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{3}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Etapa 11.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

Etapa 11.2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

Etapa 11.2.4

Para escrever $\frac{3}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

Etapa 11.2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

Etapa 11.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

Etapa 11.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

Etapa 11.2.7.2

Subtraia $9$ de $12$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}$

Etapa 11.2.8

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{16}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$

Etapa 11.2.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 11.2.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Etapa 11.2.10

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 4}$

Etapa 11.2.10.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 11.2.11

A resposta final é $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Remova os parênteses.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- 0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Etapa 13.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Etapa 13.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Etapa 13.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{1} (1 - (0))}$

Etapa 13.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.4.1

Avalie o expoente.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0 (1 - (0))}$

Etapa 13.3.4.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0 (1 - (0))}$

Etapa 13.3.4.3

Subtraia $0$ de $1$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0 \cdot 1}$

Etapa 13.3.4.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Etapa 13.3.4.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Etapa 13.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 15