Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x (4 (x^{2} - 4) x) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3.1.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$4 x^{4} + x^{2} \cdot - 16 + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.3.4

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.10.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.1

Reescreva ${(x^{2} - 4)}^{2}$ como $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + (x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$

Etapa 1.10.4.2

Expanda $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)$

Etapa 1.10.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)$

Etapa 1.10.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 1.10.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 1.10.4.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 1.10.4.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 1.10.4.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Etapa 1.10.4.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 1.10.5

Some $4 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$5 x^{4} - 16 x^{2} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 1.10.6

Subtraia $8 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $20 x^{3} - 48 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$x (2 (x^{2} - 4) (2 x)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x (4 (x^{2} - 4) x) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.9

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} (4 (x^{2} - 4)) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3.1.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} + x^{2} (4 \cdot - 4) + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$4 x^{4} + x^{2} \cdot - 16 + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.3.4

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + {(x^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 4.1.10.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.4.1

Reescreva ${(x^{2} - 4)}^{2}$ como $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + (x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$

Etapa 4.1.10.4.2

Expanda $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)$

Etapa 4.1.10.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)$

Etapa 4.1.10.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 4.1.10.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.4.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.4.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 4.1.10.4.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 4.1.10.4.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4$

Etapa 4.1.10.4.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Etapa 4.1.10.4.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 16 x^{2} + x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 4.1.10.5

Some $4 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$5 x^{4} - 16 x^{2} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 4.1.10.6

Subtraia $8 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 5.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ e cuja soma é $b = - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $- 24$ de $- 24 u$ .

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $- 24$ como $- 4$ mais $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16 = 0$

Etapa 5.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16 = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4) = 0$

Etapa 5.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 u - 4$ .

$(5 u - 4) (u - 4) = 0$

Etapa 5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 u - 4 = 0$

$u - 4 = 0$

Etapa 5.5

Defina $5 u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $5 u - 4$ como igual a $0$ .

$5 u - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 u - 4 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$5 u = 4$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $5 u = 4$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = 4$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{4}{5}$

Etapa 5.6

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(5 u - 4) (u - 4) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{4}{5}, 4$

Etapa 5.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{4}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 5.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{4}{5}$

Etapa 5.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

Etapa 5.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{5}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.10.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.10.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.10.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.10.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.10.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.10.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 5.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 4$

Etapa 5.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 5.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.12.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 5.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 5.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 5.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 5.13

A solução para $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ é $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$20 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.4

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.4.1

Fatore $25$ de $125$ .

$20 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.6

Multiplique $8$ por $5$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.2

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.4

Reescreva a expressão.

$4 \frac{40 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.5

Combine $4$ e $\frac{40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (40 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $40$ por $4$ .

$\frac{160 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7

Cancele o fator comum de $160$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Fatore $5$ de $160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $- 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Combine $- 48$ e $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Etapa 9.1.8.2

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 96 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{32 \sqrt{5} - 96 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $96 \sqrt{5}$ de $32 \sqrt{5}$ .

$\frac{- 64 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) {({(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{20}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 (4)}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} - 4)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 - 4 \cdot 5}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 - 20}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $20$ de $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{- 16}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(- \frac{16}{5})}^{2}$

Etapa 11.2.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{16}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{16}{5})}^{2})$

Etapa 11.2.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{16}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{16^{2}}{5^{2}}))$

Etapa 11.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (1 (\frac{16^{2}}{5^{2}}))$

Etapa 11.2.8.2

Multiplique $\frac{16^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16^{2}}{5^{2}}$

Etapa 11.2.9

Combine.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 16^{2}}{5 \cdot 5^{2}}$

Etapa 11.2.10

Multiplique $5$ por $5^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1

Multiplique $5$ por $5^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 16^{2}}{5 \cdot 5^{2}}$

Etapa 11.2.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 16^{2}}{5^{1 + 2}}$

Etapa 11.2.10.2

Some $1$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2 \sqrt{5} \cdot 16^{2}}{5^{3}}$

Etapa 11.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.11.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{{(2^{4})}^{2} \cdot (2 \sqrt{5})}{5^{3}}$

Etapa 11.2.11.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.11.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{4 \cdot 2} \cdot (2 \sqrt{5})}{5^{3}}$

Etapa 11.2.11.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{8} \cdot (2 \sqrt{5})}{5^{3}}$

Etapa 11.2.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{8 + 1} \sqrt{5}}{5^{3}}$

Etapa 11.2.11.4

Some $8$ e $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{9} \sqrt{5}}{5^{3}}$

Etapa 11.2.12

Avalie os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.12.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{9} \sqrt{5}}{125}$

Etapa 11.2.12.2

Eleve $2$ à potência de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 11.2.13

A resposta final é $\frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.4

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1

Fatore $25$ de $125$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 (- \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.6

Multiplique $8$ por $5$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{40 \sqrt{5}}{125}$ para o numerador.

$20 \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.3

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.4

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.5

Reescreva a expressão.

$4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.6

Combine $4$ e $\frac{- 40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (- 40 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.7

Multiplique $- 40$ por $4$ .

$\frac{- 160 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $- 160$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $5$ de $- 160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.10

Multiplique $- 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.1.10.2

Combine $48$ e $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Etapa 13.1.10.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 32 \sqrt{5} + 96 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.2.2

Some $- 32 \sqrt{5}$ e $96 \sqrt{5}$ .

$\frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 14

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) {({(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}) - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(1 (\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 \cdot 5}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $4$ por $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{20}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.7

Cancele o fator comum de $20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 (4)}{25} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} - 4)}^{2}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 - 4 \cdot 5}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{4 - 20}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $20$ de $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(\frac{- 16}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot {(- \frac{16}{5})}^{2}$

Etapa 15.2.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{16}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{16}{5})}^{2})$

Etapa 15.2.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{16}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{16^{2}}{5^{2}}))$

Etapa 15.2.8

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{2 \sqrt{5}}{5}) \cdot \frac{16^{2}}{5^{2}}$

Etapa 15.2.8.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2 \sqrt{5}}{5})) \cdot \frac{16^{2}}{5^{2}}$

Etapa 15.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) \cdot \frac{16^{2}}{5^{2}}$

Etapa 15.2.8.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) \cdot \frac{16^{2}}{5^{2}}$

Etapa 15.2.9

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) \cdot \frac{256}{5^{2}}$

Etapa 15.2.10

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) \cdot \frac{256}{25}$

Etapa 15.2.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{256}{25}$

Etapa 15.2.12

Multiplique $- \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{256}{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.1

Multiplique $\frac{256}{25}$ por $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{256 (2 \sqrt{5})}{25 \cdot 5}$

Etapa 15.2.12.2

Multiplique $2$ por $256$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Etapa 15.2.12.3

Multiplique $25$ por $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 15.2.13

A resposta final é $- \frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 \cdot 8 - 48 \cdot 2$

Etapa 17.1.2

Multiplique $20$ por $8$ .

$160 - 48 \cdot 2$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 48$ por $2$ .

$160 - 96$

Etapa 17.2

Subtraia $96$ de $160$ .

$64$

Etapa 18

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = (2) {({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 4)}^{2}$

Etapa 19.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (2) = 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 19.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0$

Etapa 19.2.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (2) = 0$

Etapa 19.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$20 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2$

Etapa 21.1.2

Multiplique $20$ por $- 8$ .

$- 160 - 48 \cdot - 2$

Etapa 21.1.3

Multiplique $- 48$ por $- 2$ .

$- 160 + 96$

Etapa 21.2

Some $- 160$ e $96$ .

$- 64$

Etapa 22

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = (- 2) {({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - 2 {(4 - 4)}^{2}$

Etapa 23.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 23.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 0$

Etapa 23.2.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 23.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $f (x) = x {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ é um máximo local

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ é um mínimo local

$(2, 0)$ é um mínimo local

$(- 2, 0)$ é um máximo local

Etapa 25