Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.3

Combine $\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.3.6.4.1

Fatore $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6.4.2.4

Divida $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Multiplique ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Reordene $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 1.4.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 1.4.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.1.4

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.2

Combine $2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Etapa 1.4.2.5

Some $4 x$ e $x$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 x}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.6

Combine frações.

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Etapa 2.2.6.1

Some $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.6.2

Combine ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.2.6.3

Mova $5$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $\frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.4.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.4.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 2.4.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

Etapa 2.4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

Etapa 2.4.7.3

Combine ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Etapa 2.4.7.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Etapa 2.5

Para escrever $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.6

Combine $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Etapa 2.8

Combine $2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.10

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.10.1

Fatore $2$ de $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.10.2.4

Divida $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Etapa 2.11.1.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Etapa 2.11.1.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Etapa 2.11.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Etapa 2.11.1.3

Combine $5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Etapa 2.11.1.4

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Etapa 2.11.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

Etapa 2.11.1.6

Multiplique $3 \frac{5 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.6.1

Combine $3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Etapa 2.11.1.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Etapa 2.11.1.7

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

Etapa 2.11.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

Etapa 2.11.1.9

Subtraia $12$ de $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.10

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.11

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.13

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.14

Some $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.15

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.15.1

Fatore $2$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.15.2.4

Divida $10 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.16

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 8}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.17

Fatore $2$ de $10 x - 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.17.1

Fatore $2$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

Etapa 2.11.1.17.2

Fatore $2$ de $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

Etapa 2.11.1.17.3

Fatore $2$ de $2 (5 x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

Etapa 2.11.1.18

Combine $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Etapa 2.11.1.19

Reduza a expressão $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.19.1

Fatore $2$ de ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Etapa 2.11.1.19.2

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Etapa 2.11.1.19.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Etapa 2.11.1.19.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Etapa 2.11.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

Etapa 2.11.3

Fatore $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ de $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

Etapa 2.11.4

Multiplique $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Multiplique $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ por $\frac{5 x - 16}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.11.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.3

Combine $\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.4.1

Fatore $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.6.4.2.4

Divida $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.8

Multiplique ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Reordene $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 4.1.4.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Etapa 4.1.4.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.1.4

Fatore ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.2.2

Combine $2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Etapa 4.1.4.2.5

Some $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Etapa 5.3

Defina ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $\frac{x}{2} - 4$ como igual a $0$ .

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = 4$

Etapa 5.3.2.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = 8$

Etapa 5.4

Defina $\frac{5 x}{2} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $\frac{5 x}{2} - 4$ como igual a $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{5 x}{2} = 4$

Etapa 5.4.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1

Simplifique $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

Etapa 5.4.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{5} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.2.1.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

Etapa 5.4.2.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{8}{5}$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $5 (8) - 16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $4$ de ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

Etapa 9.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

Etapa 9.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

Etapa 9.1.1.2.4

Divida ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ por $1$ .

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Etapa 9.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Etapa 9.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

Etapa 9.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$0 (10 - 4)$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Subtraia $4$ de $10$ .

$0 \cdot 6$

Etapa 9.3.2

Multiplique $0$ por $6$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{8}{5})$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida $0$ por $2$ .

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Etapa 10.2.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Etapa 10.2.2.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

Etapa 10.2.2.5

Divida $0$ por $2$ .

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

Etapa 10.2.2.6

Subtraia $4$ de $0$ .

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

Etapa 10.2.2.7

Multiplique $- 64$ por $- 4$ .

$f' (0) = 256$

Etapa 10.2.2.8

A resposta final é $256$ .

$256$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $5$ , do intervalo $(\frac{8}{5}, 8)$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.4.2

Subtraia $8$ de $5$ .

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 10.3.2.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.10

Multiplique $5$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

Etapa 10.3.2.11

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 10.3.2.12

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

Etapa 10.3.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 10.3.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.14.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

Etapa 10.3.2.14.2

Subtraia $8$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

Etapa 10.3.2.15

Multiplique $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ .

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Etapa 10.3.2.15.1

Multiplique $\frac{17}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Etapa 10.3.2.15.2

Multiplique $17$ por $27$ .

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

Etapa 10.3.2.15.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

Etapa 10.3.2.16

A resposta final é $- \frac{459}{16}$ .

$- \frac{459}{16}$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $10$ , do intervalo $(8, \infty)$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Divida $10$ por $2$ .

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Etapa 10.4.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Etapa 10.4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Etapa 10.4.2.4

Multiplique $\frac{5 (10)}{2} - 4$ por $1$ .

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

Etapa 10.4.2.5

Multiplique $5$ por $10$ .

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

Etapa 10.4.2.6

Divida $50$ por $2$ .

$f' (10) = 25 - 4$

Etapa 10.4.2.7

Subtraia $4$ de $25$ .

$f' (10) = 21$

Etapa 10.4.2.8

A resposta final é $21$ .

$21$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{8}{5}$ , então $x = \frac{8}{5}$ é um máximo local.

$x = \frac{8}{5}$ é um máximo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 8$ , então $x = 8$ é um mínimo local.

$x = 8$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x = \frac{8}{5}$ é um máximo local

$x = 8$ é um mínimo local

$x = \frac{8}{5}$ é um máximo local

$x = 8$ é um mínimo local

Etapa 11