Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.9

Some $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.2.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.7

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 1.4.3.8

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.5.1

Reescreva ${(3 x - 2)}^{2}$ como $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2

Expanda $(3 x - 2) (3 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.4.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.4.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.5

Simplifique.

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Etapa 1.4.5.5.1

Multiplique $9$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.5.2

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.5.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.6

Some $3 x^{2}$ e $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.7

Subtraia $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8

Reescreva $48 x^{2} - 64 x + 20$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.4.5.8.1

Fatore $4$ de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

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Etapa 1.4.5.8.1.1

Fatore $4$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.1.2

Fatore $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.1.3

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.1.4

Fatore $4$ de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.1.5

Fatore $4$ de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.4.5.8.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ e cuja soma é $b = - 16$ .

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Etapa 1.4.5.8.2.1.1

Fatore $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2.1.2

Reescreva $- 16$ como $- 6$ mais $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.4.5.8.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.8.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{({(3 x - 2)}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(3 x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = 6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (6 x - 5) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + 0) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $6$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \cdot 6 + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 \cdot (2 x - 1) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + 0)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.12.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) \cdot 2) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.5.12.2

Mova $2$ para a esquerda de $6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 \cdot (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.7.2

Fatore $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Fatore $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $3 x - 2$ de $- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $3 x - 2$ de $(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x - 2]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Fatore $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.13

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.14.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.14.3

Combine $4$ e $\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) + (- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.1.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.1.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.1.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.2

Some $12 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 6 - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.3

Subtraia $10$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.4

Expanda $(3 x - 2) (24 x - 16)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x - 16) - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x^{2}) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.4

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.5

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.5.2

Subtraia $48 x$ de $- 48 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 96 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.7.1

Multiplique $72$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.7.2

Multiplique $- 96$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.7.3

Multiplique $4$ por $32$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.8.1

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.8.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x + 6) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.9

Expanda $(- 12 x + 6) (6 x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x - 5) + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.10.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x \cdot x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.10.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x^{2}) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.3

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.5

Multiplique $6$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.1.6

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.10.2

Some $60 x$ e $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 96 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1.12.1

Multiplique $- 72$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.12.2

Multiplique $96$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.1.12.3

Multiplique $4$ por $- 30$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.2

Combine os termos opostos em $288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.2.1

Subtraia $288 x^{2}$ de $288 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 0 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.2.2

Some $- 384 x + 128$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.2.3

Some $- 384 x$ e $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.2.4

Some $0$ e $128$ .

$f'' (x) = \frac{128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.15.5.3

Subtraia $120$ de $128$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.9

Some $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.7

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Etapa 4.1.4.3.8

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.1

Reescreva ${(3 x - 2)}^{2}$ como $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.2

Expanda $(3 x - 2) (3 x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.5.1

Multiplique $9$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.5.2

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.5.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.6

Some $3 x^{2}$ e $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.7

Subtraia $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8

Reescreva $48 x^{2} - 64 x + 20$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.8.1

Fatore $4$ de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.8.1.1

Fatore $4$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.1.2

Fatore $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.1.3

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.1.4

Fatore $4$ de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.1.5

Fatore $4$ de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.8.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ e cuja soma é $b = - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.8.2.1.1

Fatore $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2.1.2

Reescreva $- 16$ como $- 6$ mais $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.8.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.4.5.8.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$6 x - 5 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.3

Defina $6 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $6 x - 5$ como igual a $0$ .

$6 x - 5 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Resolva $6 x - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$6 x = 5$

Etapa 5.3.3.2.2

Divida cada termo em $6 x = 5$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 6.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 6.2.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 6.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 6.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{1}{2}) - 2)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{{(\frac{3 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{3 - 4}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.5.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{8}{{(\frac{- 1}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.7

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{8}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Etapa 9.1.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Etapa 9.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 9.1.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8}{- \frac{1}{8}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 (- 1 \cdot 8)$

Etapa 9.3

Multiplique $8 (- 1 \cdot 8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$8 \cdot - 8$

Etapa 9.3.2

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$- 64$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 4}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.5.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4.2

Fatore $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 11.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 5}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Some $- 1$ e $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{2}$

Etapa 11.2.2.2.2

Divida $4$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{5}{6}) - 2)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 (2)} - 2)}^{3}}$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 \cdot 2} - 2)}^{3}}$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2)}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Etapa 13.1.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Etapa 13.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{{(\frac{5 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Etapa 13.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{5 - 4}{2})}^{3}}$

Etapa 13.1.5.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{8}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Etapa 13.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Etapa 13.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{\frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 13.1.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8}{\frac{1}{8}}$

Etapa 13.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 \cdot 8$

Etapa 13.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$64$

Etapa 14

$x = \frac{5}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5}{6}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{5}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 (2)}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 \cdot 2}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 4}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.2.5.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{1}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{36} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Fatore $2$ de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 (18)} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 \cdot 18} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + 5 (\frac{5}{6})$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $5 (\frac{5}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Combine $5$ e $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{5 \cdot 5}{6}$

Etapa 15.2.1.5.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $\frac{25}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{25}{6}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{6 \cdot 3}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{18}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 25 \cdot 3}{18}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $25$ por $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 75}{18}$

Etapa 15.2.5.2

Some $25$ e $75$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{100}{18}$

Etapa 15.2.6

Cancele o fator comum de $100$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Fatore $2$ de $100$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 (50)}{18}$

Etapa 15.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Etapa 15.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Etapa 15.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{50}{9}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $\frac{50}{9}$ .

$y = \frac{50}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ .

$(\frac{1}{2}, 2)$ é um máximo local

$(\frac{5}{6}, \frac{50}{9})$ é um mínimo local

Etapa 17