Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.9

Some $1$ e $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.10

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 1.11

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.11.1

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 1.11.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

Etapa 1.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

Etapa 1.11.2

Some $3$ e $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Etapa 1.12

Reordene os termos.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.7.1

Mova $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.7.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.2.7.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.7.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{3} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.10

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.10.1

Mova $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.10.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.2.10.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.2.10.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2.4.2.3

Subtraia $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ de $- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{4} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.3

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 6

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 6.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 7

Defina $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Substitua $- 3 \sin^{2} (x)$ por $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2.3

Some $3 \cos^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2.4

Reordene o polinômio.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 7.2.5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Etapa 7.2.6

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 7.2.6.1

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.6.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 7.2.8

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 7.2.8.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.2.8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.8.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.2.8.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.2.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.2.9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.2.9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.2.10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.2.11

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.2.11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.2.11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.11.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.11.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.11.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.11.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.11.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.11.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.11.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.2.11.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.11.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 7.2.11.4.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.2.11.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.2.12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.2.12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.2.12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.12.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.12.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.12.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.12.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 7.2.12.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 7.2.12.5

A solução para a equação $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 7.2.13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.9

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 + 6 \cdot 0$

Etapa 10.1.10

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.6

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

Etapa 11.2.2.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

Etapa 11.2.2.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = 0 + 1$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.2.1.1

Avalie $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.2

Eleve $0.5403023$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.29192658$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.4

Avalie $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.5

Eleve $0.84147098$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.6

Multiplique $- 0.87577974$ por $0.70807341$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

Etapa 11.3.2.1.7

Avalie $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

Etapa 11.3.2.1.8

Eleve $0.5403023$ à potência de $4$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

Etapa 11.3.2.2

Some $- 0.62011635$ e $0.08522112$ .

$f' (1) = - 0.53489522$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $- 0.53489522$ .

$- 0.53489522$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.2.1.1

Avalie $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.2

Eleve $- 0.41614683$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.17317818$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.4

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.5

Eleve $0.90929742$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.6

Multiplique $- 0.51953456$ por $0.82682181$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

Etapa 11.4.2.1.7

Avalie $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

Etapa 11.4.2.1.8

Eleve $- 0.41614683$ à potência de $4$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

Etapa 11.4.2.2

Some $- 0.42956251$ e $0.02999068$ .

$f' (2) = - 0.39957182$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $- 0.39957182$ .

$- 0.39957182$

Etapa 11.5

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1.1

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.2

Eleve $- 0.98999249$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.98008514$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.4

Avalie $\sin (3)$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.5

Eleve $0.14112$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.6

Multiplique $- 2.94025542$ por $0.01991485$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

Etapa 11.5.2.1.7

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

Etapa 11.5.2.1.8

Eleve $- 0.98999249$ à potência de $4$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

Etapa 11.5.2.2

Some $- 0.05855476$ e $0.96056688$ .

$f' (3) = 0.90201212$

Etapa 11.5.2.3

A resposta final é $0.90201212$ .

$0.90201212$

Etapa 11.6

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.6.2.1.1

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.2

Eleve $- 0.65364362$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.42724998$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.4

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.5

Eleve $- 0.75680249$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.6

Multiplique $- 1.28174994$ por $0.57275001$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

Etapa 11.6.2.1.7

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

Etapa 11.6.2.1.8

Eleve $- 0.65364362$ à potência de $4$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

Etapa 11.6.2.2

Some $- 0.7341223$ e $0.18254254$ .

$f' (4) = - 0.55157975$

Etapa 11.6.2.3

A resposta final é $- 0.55157975$ .

$- 0.55157975$

Etapa 11.7

Substitua qualquer número, como $5$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.7.2.1.1

Avalie $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.2

Eleve $0.28366218$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.08046423$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.4

Avalie $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.5

Eleve $- 0.95892427$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.6

Multiplique $- 0.2413927$ por $0.91953576$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

Etapa 11.7.2.1.7

Avalie $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

Etapa 11.7.2.1.8

Eleve $0.28366218$ à potência de $4$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

Etapa 11.7.2.2

Some $- 0.22196922$ e $0.00647449$ .

$f' (5) = - 0.21549473$

Etapa 11.7.2.3

A resposta final é $- 0.21549473$ .

$- 0.21549473$

Etapa 11.8

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ na primeira derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.8.2.1.1

Avalie $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.2

Eleve $- 0.14550003$ à potência de $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0.02117025$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.4

Avalie $\sin (8)$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.5

Eleve $0.98935824$ à potência de $2$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.6

Multiplique $- 0.06351077$ por $0.97882974$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

Etapa 11.8.2.1.7

Avalie $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

Etapa 11.8.2.1.8

Eleve $- 0.14550003$ à potência de $4$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

Etapa 11.8.2.2

Some $- 0.06216623$ e $0.00044817$ .

$f' (8) = - 0.06171805$

Etapa 11.8.2.3

A resposta final é $- 0.06171805$ .

$- 0.06171805$

Etapa 11.9

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{π}{6}$ , então $x = \frac{π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 11.10

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{π}{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.11

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{5 π}{6}$ , então $x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 11.12

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{7 π}{6}$ , então $x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 11.13

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.14

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 12