Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (2 x) + \cos (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 4 \cos (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.2

Divida $2$ por $1$ .

$2 + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$2 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$2 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (2 x) = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 8

Divida $- 2$ por $1$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = 0 \sec (2 x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (2 x)$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = 0$

Etapa 13

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 \tan (2 x) = - 2$

Etapa 14

Divida cada termo em $- 2 \tan (2 x) = - 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $- 2 \tan (2 x) = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \tan (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 14.2.1.2

Divida $\tan (2 x)$ por $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Divida $- 2$ por $- 2$ .

$\tan (2 x) = 1$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x = \arctan (1)$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Etapa 17

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 17.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 17.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 17.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 17.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 17.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 17.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 18

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 19

Resolva $x$ .

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Etapa 19.1

Simplifique.

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Etapa 19.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 19.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 19.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 19.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

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Etapa 19.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 19.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 19.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 19.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 19.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 19.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 19.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 19.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 19.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 19.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 19.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Etapa 20

A solução para a equação $2 x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{8})) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 (4)}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 4}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \sin (\frac{π}{4}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 22.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (4)})$

Etapa 22.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Etapa 22.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 22.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.6.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.1.6.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.1.6.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Etapa 22.2

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Etapa 23

$x = \frac{π}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{8}$ é um máximo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{8}$ .

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Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{8})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (4)})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 24.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 4})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 24.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 24.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Etapa 24.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{2 (4)}))$

Etapa 24.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 4}))$

Etapa 24.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 24.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \sqrt{2}$

Etapa 24.2.3

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \sin (2 (\frac{5 π}{8})) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 26.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (4)}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 4}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \sin (\frac{5 π}{4}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{4})) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- 2 (- \sqrt{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 26.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.6.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (4)})$

Etapa 26.1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 4})$

Etapa 26.1.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 26.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 26.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 26.1.9.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 26.1.9.3

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 26.1.9.4

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

Etapa 26.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 26.2

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Etapa 27

$x = \frac{5 π}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{8}$ é um mínimo local

Etapa 28

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{8})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 28.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{2 (4)})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 4})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 28.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (4)}))$

Etapa 28.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 4}))$

Etapa 28.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 28.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 28.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 28.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 28.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 28.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 28.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 28.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 28.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 28.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 28.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 28.2.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \sqrt{2}$

Etapa 28.2.3

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 29

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (2 x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{8}, \sqrt{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{8}, - \sqrt{2})$ é um mínimo local

Etapa 30