Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (x) - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Etapa 1.4.2

Reordene $- 1$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Etapa 1.4.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\tan^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 2.3

Reordene os fatores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\tan^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\tan (x) = \pm 0$

Etapa 5.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 6

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 9

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 10

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Etapa 12.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \tan (0)$

Etapa 12.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 12.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$

Etapa 13

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 14