Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Etapa 1.2.2

Reordene os fatores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \cos (x^{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $\cos (x^{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Etapa 5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $\cos (x^{2})$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x^{2})$ como igual a $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x^{2}) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Substitua $u$ por $x^{2}$ .

$\cos (u) = 0$

Etapa 6.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $u$ de dentro do cosseno.

$u = \arccos (0)$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.6

A solução para a equação $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.7

Substitua $x^{2}$ por $u$ e resolva $x^{2} = \frac{π}{2}$

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Etapa 6.2.7.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Etapa 6.2.7.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

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Etapa 6.2.7.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.7.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.7.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.7.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.7.2.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.7.2.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.2.7.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.7.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.2.7.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.2.7.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.7.2.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Etapa 6.2.7.2.5

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 6.2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 6.2.7.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 6.2.7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Etapa 6.2.8

Substitua $x^{2}$ por $u$ e resolva $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

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Etapa 6.2.8.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Etapa 6.2.8.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Etapa 6.2.8.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.8.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.8.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.8.2.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.8.2.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.2.8.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.8.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.2.8.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.8.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.8.2.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Etapa 6.2.8.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 6.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 6.2.8.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 6.2.8.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x \cos (x^{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9.1.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Etapa 9.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Etapa 9.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 9.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Etapa 11.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

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Etapa 13.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.2.5

Simplifique.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 13.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.7.5

Simplifique.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.9

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.9.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.13

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 13.1.14

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.15.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.15.4.1

Cancele o fator comum.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15.4.2

Reescreva a expressão.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Etapa 13.1.15.5

Simplifique.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 13.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Etapa 13.1.17

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.17.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Etapa 13.1.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.17.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Etapa 13.1.17.2.2

Cancele o fator comum.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Etapa 13.1.17.2.3

Reescreva a expressão.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.18

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 13.1.19

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Etapa 13.1.20

Multiplique $2$ por $0$ .

$6 π + 0$

Etapa 13.2

Some $6 π$ e $0$ .

$6 π$

Etapa 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 15.2.2.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 15.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Etapa 15.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Etapa 15.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Etapa 15.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Etapa 15.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 15.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 15.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Etapa 15.2.8

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.4.5

Simplifique.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.6.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.7

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.10

Multiplique $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.11.4.1

Cancele o fator comum.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11.4.2

Reescreva a expressão.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.11.5

Simplifique.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.13

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.13.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.13.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.13.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.14

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.15

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.17

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.18

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.18.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 17.1.18.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.19

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.20

Multiplique $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.21.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.21.4.1

Cancele o fator comum.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21.4.2

Reescreva a expressão.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Etapa 17.1.21.5

Simplifique.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 17.1.22

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Etapa 17.1.23

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.23.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Etapa 17.1.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.23.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Etapa 17.1.23.2.2

Cancele o fator comum.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Etapa 17.1.23.2.3

Reescreva a expressão.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 17.1.24

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 17.1.25

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Etapa 17.1.26

Multiplique $2$ por $0$ .

$6 π + 0$

Etapa 17.2

Some $6 π$ e $0$ .

$6 π$

Etapa 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Etapa 19.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 19.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 19.2.2.2

Multiplique $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3

Reescreva ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 19.2.3.5

Simplifique.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Etapa 19.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Etapa 19.2.5

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.5.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Etapa 19.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Etapa 19.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Etapa 19.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 19.2.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 19.2.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 19.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Etapa 19.2.9

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 21