Cálculo Exemplos

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ como ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 1.10

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 1.12

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 1.13

Como $41$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $41$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Etapa 1.14

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.2

Multiplique $2 x - 8$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.4

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.5

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.15.6.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.15.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.10

Combine frações.

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Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.13

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.15

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.16

Como $41$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $41$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + 0))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.17

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18

Simplifique.

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Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.18.2.1

Deixe $u_{2} = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.18.2.1.1

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.2

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = u_{2}$ e $b = x - 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - (x - 4))}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.18.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.18.2.3.1

Expanda $({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2

Combine os termos opostos em ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4$ .

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Etapa 2.18.2.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ e $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2.2

Some $- x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ e $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 0 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2.3

Some ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2.4

Reorganize os fatores nos termos ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ e $- 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2.5

Subtraia $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ de $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 + 0 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.2.6

Some ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.3.3.1

Multiplique ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.3.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.1.3

Some $1$ e $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 8 x + 41) + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.2

Simplifique ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{1}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.3.3.4.1

Mova $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x \cdot x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 \cdot x - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.3.7

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16$ .

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Etapa 2.18.2.3.4.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 0 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.4.2

Some $- 8 x + 41$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.5

Some $- 8 x$ e $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 41 + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.6

Combine os termos opostos em $- 4 x + 41 + 4 x - 16$ .

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Etapa 2.18.2.3.6.1

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.6.2

Some $0$ e $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.2.3.7

Subtraia $16$ de $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.3

Combine os termos.

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Etapa 2.18.3.1

Reescreva $\frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$ como um produto.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 2.18.3.2

Multiplique $\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Etapa 2.18.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 8 x + 41$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.3.3.1

Multiplique ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 8 x + 41$ .

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Etapa 2.18.3.3.1.1

Eleve $x^{2} - 8 x + 41$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Etapa 2.18.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.18.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.18.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.18.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ como ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 4.1.10

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 4.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 4.1.12

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Etapa 4.1.13

Como $41$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $41$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Etapa 4.1.14

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Etapa 4.1.15

Simplifique.

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Etapa 4.1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.2

Multiplique $2 x - 8$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.4

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.5

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.15.6.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.1.15.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.6.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{25}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{{(16 - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{25}{{(16 - 32 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $32$ de $16$ .

$\frac{25}{{(- 16 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Some $- 16$ e $41$ .

$\frac{25}{25^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{25}{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{25}{5^{3}}$

Etapa 9.1.7

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{25}{125}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $25$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$\frac{25 (1)}{125}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $25$ de $125$ .

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5}$

Etapa 10

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$g (4) = \sqrt{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 8 \cdot 4 + 41}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 32 + 41}$

Etapa 11.2.3

Subtraia $32$ de $16$ .

$g (4) = \sqrt{- 16 + 41}$

Etapa 11.2.4

Some $- 16$ e $41$ .

$g (4) = \sqrt{25}$

Etapa 11.2.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$g (4) = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 11.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$g (4) = 5$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$(4, 5)$ é um mínimo local

Etapa 13