Cálculo Exemplos

$g (x) = - \sqrt{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 2 x + 17}$ como ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x + 17$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2 x + 17$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x + 17$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 17])$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 17$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [17])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [17])$

Etapa 1.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [17])$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [17])$

Etapa 1.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [17])$

Etapa 1.13

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $17$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

Etapa 1.14

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Etapa 1.15

Simplifique.

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Etapa 1.15.1

Reordene os fatores de $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$- (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(- 2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.5

Multiplique $- 2 x - 2$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.6

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.7

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.8

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.15.9.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.15.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.10

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.11

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.12

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.13

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.15.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Simplifique.

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x + 17$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + 2 x + 17$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + 2 x + 17$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 17$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (17)))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (17)))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (17)))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (17)))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.16

Multiplique $2$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 + \frac{d}{d x} (17)))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.17

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $17$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 + 0))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.18

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2))}{x^{2} + 2 x + 17} + \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.19

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

Etapa 2.20

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.20.1

Multiplique $\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2))}{x^{2} + 2 x + 17} + 0$

Etapa 2.20.2

Some $- \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2))}{x^{2} + 2 x + 17}$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2))}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21

Simplifique.

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Etapa 2.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2))}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.21.2.1

Deixe $u_{2} = {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.21.2.1.1

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 1)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.2

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 1)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 1)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 1)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = u_{2}$ e $b = x + 1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 1) (u_{2} - (x + 1))}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.21.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 1) (u_{2} - x - 1 \cdot 1)}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 1) (u_{2} - x - 1)}{u_{2}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x + 1) ({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.21.2.3.1

Expanda $({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x + 1) ({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.2

Combine os termos opostos em ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.21.2.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ e $x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.2.2

Some $- x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ e $x {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 0 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.2.3

Some ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.21.2.3.3.1

Multiplique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.2.3.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.1.3

Some $1$ e $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(x^{2} + 2 x + 17) + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.2

Simplifique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{1}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.3

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - 1 \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.4

Reescreva $- 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.2.3.3.6.1

Mova $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + x \cdot - 1 + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 1 \cdot x + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.8

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - x + 1 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.9

Multiplique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.10

Multiplique $- x$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x + 1 \cdot - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.3.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.4

Combine os termos opostos em $x^{2} + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1$ .

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Etapa 2.21.2.3.4.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{0 + 2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.4.2

Some $0$ e $2 x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{2 x + 17 - {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x + {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.4.3

Some $- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ e ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{2 x + 17 - x + 0 - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.4.4

Some $2 x + 17 - x$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{2 x + 17 - x - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.5

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x + 17 - x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.6

Combine os termos opostos em $x + 17 - x - 1$ .

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Etapa 2.21.2.3.6.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{0 + 17 - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.6.2

Some $0$ e $17$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{17 - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.2.3.7

Subtraia $1$ de $17$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$

Etapa 2.21.3

Combine os termos.

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Etapa 2.21.3.1

Reescreva $\frac{\frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2 x + 17}$ como um produto.

$g'' (x) = - (\frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2 x + 17})$

Etapa 2.21.3.2

Multiplique $\frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 17}$ .

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x + 17)}$

Etapa 2.21.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 2 x + 17$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.3.3.1

Multiplique ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 2 x + 17$ .

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Etapa 2.21.3.3.1.1

Eleve $x^{2} + 2 x + 17$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x + 17)}$

Etapa 2.21.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.21.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.21.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.21.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 2 x + 17}$ como ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x + 17$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2 x + 17$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x + 17$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - (\frac{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x^{2} + 2 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 17))$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 17$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (17))$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (17))$

Etapa 4.1.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (17))$

Etapa 4.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (17))$

Etapa 4.1.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 + \frac{d}{d x} (17))$

Etapa 4.1.13

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $17$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 + 0)$

Etapa 4.1.14

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2)$

Etapa 4.1.15

Simplifique.

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Etapa 4.1.15.1

Reordene os fatores de $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$f' (x) = - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (- (2 x) - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.15.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = (- 2 x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.15.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = (- 2 x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.15.5

Multiplique $- 2 x - 2$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.6

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x) - 2}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.7

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x) + 2 \cdot - 1}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.8

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.15.9.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x - 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.1.15.9.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x - 1)}{2 {(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.9.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.10

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.11

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.12

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.13

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 1)}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.15.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 1 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{16}{{({(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 17)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{{(1 + 2 (- 1) + 17)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{16}{{(1 - 2 + 17)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{16}{{(- 1 + 17)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Some $- 1$ e $17$ .

$- \frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.6.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.6.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{16}{4^{3}}$

Etapa 9.1.7

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{16}{64}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $16$ e $64$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $16$ de $16$ .

$- \frac{16 (1)}{64}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $16$ de $64$ .

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 10

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$g (- 1) = - \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 17}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$g (- 1) = - \sqrt{1 + 2 (- 1) + 17}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (- 1) = - \sqrt{1 - 2 + 17}$

Etapa 11.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$g (- 1) = - \sqrt{- 1 + 17}$

Etapa 11.2.4

Some $- 1$ e $17$ .

$g (- 1) = - \sqrt{16}$

Etapa 11.2.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$g (- 1) = - \sqrt{4^{2}}$

Etapa 11.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$g (- 1) = - 1 \cdot 4$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$g (- 1) = - 4$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $g (x) = - \sqrt{x^{2} + 2 x + 17}$ .

$(- 1, - 4)$ é um máximo local

Etapa 13