Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ por $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ por $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.2

Mova $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.3

Eleve $\sqrt{2 p}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.4

Eleve $\sqrt{2 p}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7

Reescreva ${\sqrt{2 p}}^{2}$ como $2 p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 p}$ como ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.2.7.5

Simplifique.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.3

Multiplique $115$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 512}{115}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Etapa 1.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Eleve $115$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Etapa 1.5.2.3

Mova $13225$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.5.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ por $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 1.5.2.5

Multiplique $13225$ por $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.5.3

Como $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.7.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2 p}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $2$ de $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 512$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Etapa 1.11

Como $- 512$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 512$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Etapa 1.12.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Etapa 1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Etapa 1.13.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.2.1

Combine $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Etapa 1.13.2.2

Combine $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.3

Mova $- 512$ para a esquerda de $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.3

Reordene os termos.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.1.2

Como $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $0$ e $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$ .

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ por $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ por $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.2

Mova $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $\sqrt{2 p}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.4

Eleve $\sqrt{2 p}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7

Reescreva ${\sqrt{2 p}}^{2}$ como $2 p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 p}$ como ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.2.7.5

Simplifique.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.3

Multiplique $115$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 512}{115}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Etapa 4.1.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Eleve $115$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Etapa 4.1.5.2.2

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Etapa 4.1.5.2.3

Mova $13225$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.5.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ por $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 4.1.5.2.5

Multiplique $13225$ por $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.5.3

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2 p}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Fatore $2$ de $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 512$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Etapa 4.1.11

Como $- 512$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 512$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Etapa 4.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Etapa 4.1.12.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Etapa 4.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Etapa 4.1.13.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.2.1

Combine $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Etapa 4.1.13.2.2

Combine $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.3

Mova $- 512$ para a esquerda de $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Some $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ por $\sqrt{2 p}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ por $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2 p}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2 p}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Divida $512$ por $1$ .

$x = 512$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Etapa 6.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1520875 p \sqrt{e} = 0$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $1520875 p \sqrt{e} = 0$ por $1520875 \sqrt{e}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $1520875 p \sqrt{e} = 0$ por $1520875 \sqrt{e}$ .

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $1520875$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $p$ por $1$ .

$p = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $1520875$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $1520875$ de $0$ .

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Fatore $1520875$ de $1520875 \sqrt{e}$ .

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 (\sqrt{e})}$

Etapa 6.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$p = \frac{1520875 \cdot 0}{1520875 \sqrt{e}}$

Etapa 6.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$p = \frac{0}{\sqrt{e}}$

Etapa 6.3.3.2

Divida $0$ por $\sqrt{e}$ .

$p = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{2 p}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 p < 0$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $2 p < 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $2 p < 0$ por $2$ .

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $p$ por $1$ .

$p < \frac{0}{2}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$p < 0$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 512, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 512$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 10