Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + x}$ como ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Etapa 1.2.13

Mova ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Some $1$ e $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Etapa 1.3.2

Reordene os termos.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + x$ .

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Etapa 2.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

Etapa 2.2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

Etapa 2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

Etapa 2.2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

Etapa 2.2.14

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.14.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.14.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.15

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.16

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.18.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.18.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.20

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.21

Mova ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.22

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x^{2} + x)}^{- 1}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.23

Mova ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x)} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24

Multiplique ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.24.1

Mova $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 ((x^{2} + x) {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24.2

Multiplique $x^{2} + x$ por ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.24.2.1

Eleve $x^{2} + x$ à potência de $1$ .

Etapa 2.2.24.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.24.5

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.25

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{2 (2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}})} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.26

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.27

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.28

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.29

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{1 + 1} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.30

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.31

Combine ${(2 x + 1)}^{2}$ e $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.32

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.33

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.34

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.35

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.36

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.37

Para escrever $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.38.1

Multiplique $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}})}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38.2

Multiplique ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.38.2.1

Mova ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38.2.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.38.3

Reordene os fatores de ${(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.39

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.40

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.40.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.40.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.41

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.3.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.2

Expanda $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 4 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.6

Some $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 0 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.7

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.8

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{0 - 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $- - \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 4.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + x}$ como ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + x$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 4.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 4.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 4.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Etapa 4.1.2.13

Mova ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Some $1$ e $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Etapa 4.1.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Simplifique $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 2 x - 1$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x - 1 + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.3

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.5

Fatore $- 1$ de $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.9.1

Reescreva $- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ como $- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2.2.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{{(x^{2} + x)}^{1}}} + 1$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + 1$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x^{2} + x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x^{2} + x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + x}$ como ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x^{2} + x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x^{2} + x) = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 4 x = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$4 x (x) + 4 x = 0$

Etapa 6.3.3.1.2

Fatore $4 x$ de $4 x$ .

$4 x (x) + 4 x (1) = 0$

Etapa 6.3.3.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$4 x (x + 1) = 0$

Etapa 6.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.3.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.3.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.3.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.3.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

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Etapa 6.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + x = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 6.5.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 6.5.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 6.5.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 6.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 6.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 6.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 6.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} - 4 < 0$

Etapa 6.5.8.1.3

O lado esquerdo $12$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.5.8.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 6.5.8.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 < 0$

Etapa 6.5.8.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.5.8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{2} + 2 < 0$

Etapa 6.5.8.3.3

O lado esquerdo $6$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 6.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < 0$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11