Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 3 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \cos (x)$

Etapa 2.3

Subtraia $3 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 \sin (x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 3 \sin (x) = - 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 3 \sin (x) = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

Avalie $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Etapa 9.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Etapa 9.3

Subtraia $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Etapa 10

A solução para a equação $x = 0.3398369$ .

$x = 0.3398369, 2.80175574$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0.3398369$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \cos (0.3398369)$

Etapa 12

$x = 0.3398369$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.3398369$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = 0.3398369$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $0.3398369$ na expressão.

$f (0.3398369) = (0.3398369) + 3 \cos (0.3398369)$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Some $0.3398369$ e $3 \cos (0.3398369)$ .

$f (0.3398369) = 3.16826403$

Etapa 13.2.2

A resposta final é $3.16826403$ .

$y = 3.16826403$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = 2.80175574$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \cos (2.80175574)$

Etapa 15

$x = 2.80175574$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2.80175574$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 2.80175574$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $2.80175574$ na expressão.

$f (2.80175574) = (2.80175574) + 3 \cos (2.80175574)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Some $2.80175574$ e $3 \cos (2.80175574)$ .

$f (2.80175574) = - 0.02667138$

Etapa 16.2.2

A resposta final é $- 0.02667138$ .

$y = - 0.02667138$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + 3 \cos (x)$ .

$(0.3398369, 3.16826403)$ é um máximo local

$(2.80175574, - 0.02667138)$ é um mínimo local

Etapa 18