Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \ln (3 x - 9)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 1.2.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Etapa 1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Etapa 1.2.8

Some $3$ e $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Etapa 1.2.10

Cancele o fator comum de $3$ e $3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Fatore $3$ de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Etapa 1.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Etapa 1.2.10.2.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Etapa 1.2.10.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 1.2.10.2.4

Cancele o fator comum.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 1.2.10.2.5

Reescreva a expressão.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Etapa 1.2.11

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Etapa 1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Etapa 1.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Etapa 1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Etapa 1.3.3

Subtraia $5$ de $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 8$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 3 - x - - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.3

Some $- 3$ e $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \ln (3 x - 9)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 4.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 4.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 4.1.2.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Etapa 4.1.2.8

Some $3$ e $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Etapa 4.1.2.9

Combine $\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Etapa 4.1.2.10

Cancele o fator comum de $3$ e $3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Fatore $3$ de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Etapa 4.1.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Etapa 4.1.2.10.2.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Etapa 4.1.2.10.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 4.1.2.10.2.4

Cancele o fator comum.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 4.1.2.10.2.5

Reescreva a expressão.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Etapa 4.1.2.11

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Etapa 4.1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Etapa 4.1.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Etapa 4.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Etapa 4.1.3.3

Subtraia $5$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 8 = 0$

Etapa 5.3

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x - 8}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 8$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{25}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $5$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5}$

Etapa 10

$x = 8$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 8$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Etapa 11.2.1.2

Subtraia $9$ de $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique $- 5 \ln (15)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $15$ à potência de $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ é um mínimo local

Etapa 13