Cálculo Exemplos

$f (x) = x - b \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b \ln (x)$ em relação a $x$ é $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Etapa 1.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{b}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{b}{x}$ em relação a $x$ é $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $b$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.3.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $b$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Some $0$ e $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b \ln (x)$ em relação a $x$ é $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{b}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{b}{x} = - 1$ por $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{b}{x}$ para o numerador.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- b = - x$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- x = - b$ .

$- x = - b$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- x = - b$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- x = - b$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{b}{1}$

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $b$ por $1$ .

$x = b$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{b}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$b = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = b$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = b$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $b$ e ${(b)}^{2}$ .

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Etapa 9.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Etapa 9.2

Fatore $b$ de $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Etapa 9.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.1

Fatore $b$ de ${(b)}^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{b}$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11