Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Etapa 1.2.6

Some $2 x$ e $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Etapa 1.2.7

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.9

Combine $- 6$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Some $2 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Mova $- 12$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.2

Some $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.4

Some $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Some $- 12 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2

Fatore $12$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.3

Fatore $12$ de $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Etapa 4.1.2.6

Some $2 x$ e $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Etapa 4.1.2.7

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Etapa 4.1.2.8

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.9

Combine $- 6$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 12$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Subtraia $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Reescreva $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.4.1

Fatore $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Etapa 5.3.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.3

Subtraia $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.4

Reescreva $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Etapa 5.3.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Etapa 5.3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.3

Subtraia $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.4

Reescreva $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.4.1

Fatore $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Etapa 5.3.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Etapa 5.3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 6 + \sqrt{35}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Some $6$ e $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ como $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Expanda $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.1.4

Multiplique $35$ por $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.1.5

Reescreva $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.2

Some $36$ e $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.3.3

Some $6 \sqrt{35}$ e $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.4

Some $71$ e $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.3

Agrupe $5 + \sqrt{35}$ e $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.4

Expanda $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1.1

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.1.4

Multiplique $35$ por $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.1.5

Reescreva $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.2

Some $35$ e $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.5.3

Some $5 \sqrt{35}$ e $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 9.6

Reescreva ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ como $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.7

Expanda $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.1

Multiplique $72$ por $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.8.1.2

Multiplique $12$ por $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.8.1.3

Multiplique $72$ por $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Etapa 9.8.1.4

Multiplique $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.4.1

Multiplique $12$ por $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Etapa 9.8.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Etapa 9.8.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Etapa 9.8.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.8.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 9.8.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.8.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.8.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.8.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.8.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Etapa 9.8.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Etapa 9.8.1.6

Multiplique $144$ por $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Etapa 9.8.2

Some $5184$ e $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Etapa 9.8.3

Some $864 \sqrt{35}$ e $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Etapa 9.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.1

Fatore $12$ de $10224$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Etapa 9.9.2

Fatore $12$ de $1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Etapa 9.9.3

Fatore $12$ de $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Etapa 9.9.4

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Etapa 9.9.5

Reescreva a expressão.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Etapa 9.10

Cancele o fator comum de $70 + 12 \sqrt{35}$ e $852 + 144 \sqrt{35}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.10.1

Fatore $2$ de $70$ .

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Etapa 9.10.2

Fatore $2$ de $12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Etapa 9.10.3

Fatore $2$ de $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Etapa 9.10.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.10.4.1

Fatore $2$ de $852$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Etapa 9.10.4.2

Fatore $2$ de $144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Etapa 9.10.4.3

Fatore $2$ de $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Etapa 9.10.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Etapa 9.10.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Etapa 9.11

Multiplique $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Etapa 9.12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.12.1

Multiplique $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Etapa 9.12.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 9.12.3

Simplifique.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Etapa 9.12.4

Cancele o fator comum de $426 - 72 \sqrt{35}$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.12.4.1

Fatore $6$ de $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Etapa 9.12.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.12.4.2.1

Fatore $6$ de $36$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Etapa 9.12.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Etapa 9.12.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.13

Expanda $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1.1

Multiplique $35$ por $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.14.1.2

Multiplique $- 12$ por $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.14.1.3

Multiplique $71$ por $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.14.1.4

Multiplique $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1.4.1

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Etapa 9.14.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.14.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Etapa 9.14.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 9.14.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Etapa 9.14.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Etapa 9.14.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 9.14.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 9.14.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 9.14.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Etapa 9.14.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Etapa 9.14.1.6

Multiplique $- 72$ por $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Etapa 9.14.2

Subtraia $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 9.14.3

Some $- 420 \sqrt{35}$ e $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 9.15

Reescreva $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 9.16

Fatore $- 1$ de $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.17

Fatore $- 1$ de $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 9.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6 + \sqrt{35}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 6 + \sqrt{35}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $6 + \sqrt{35}$ na expressão.

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 6 - \sqrt{35}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Some $6$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Reescreva ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ como $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.2

Expanda $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4.2

Multiplique $\sqrt{35}$ por $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4.4

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.2

Some $36$ e $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.3.3

Subtraia $6 \sqrt{35}$ de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2.4

Some $71$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.3

Agrupe $5 - \sqrt{35}$ e $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.4

Expanda $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1.1

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4

Multiplique $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4.2

Multiplique $\sqrt{35}$ por $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4.4

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.2

Some $35$ e $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.5.3

Subtraia $7 \sqrt{35}$ de $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Etapa 13.6

Reescreva ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ como $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.7

Expanda $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1.1

Multiplique $72$ por $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.8.1.2

Multiplique $- 12$ por $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.8.1.3

Multiplique $72$ por $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Etapa 13.8.1.4

Multiplique $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1.4.1

Multiplique $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Etapa 13.8.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Etapa 13.8.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Etapa 13.8.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.8.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 13.8.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.8.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.8.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.8.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.8.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Etapa 13.8.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Etapa 13.8.1.6

Multiplique $144$ por $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Etapa 13.8.2

Some $5184$ e $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Etapa 13.8.3

Subtraia $864 \sqrt{35}$ de $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Etapa 13.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.9.1

Fatore $12$ de $10224$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Etapa 13.9.2

Fatore $12$ de $- 1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Etapa 13.9.3

Fatore $12$ de $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Etapa 13.9.4

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Etapa 13.9.5

Reescreva a expressão.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Etapa 13.10

Cancele o fator comum de $70 - 12 \sqrt{35}$ e $852 - 144 \sqrt{35}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.10.1

Fatore $2$ de $70$ .

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Etapa 13.10.2

Fatore $2$ de $- 12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Etapa 13.10.3

Fatore $2$ de $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Etapa 13.10.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.10.4.1

Fatore $2$ de $852$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Etapa 13.10.4.2

Fatore $2$ de $- 144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Etapa 13.10.4.3

Fatore $2$ de $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Etapa 13.10.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Etapa 13.10.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Etapa 13.11

Multiplique $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Etapa 13.12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.1

Multiplique $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Etapa 13.12.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 13.12.3

Simplifique.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Etapa 13.12.4

Cancele o fator comum de $426 + 72 \sqrt{35}$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.4.1

Fatore $6$ de $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Etapa 13.12.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.12.4.2.1

Fatore $6$ de $36$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Etapa 13.12.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Etapa 13.12.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.13

Expanda $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.14.1.1

Multiplique $35$ por $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.14.1.2

Multiplique $12$ por $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.14.1.3

Multiplique $71$ por $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.14.1.4

Multiplique $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.14.1.4.1

Multiplique $12$ por $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Etapa 13.14.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.14.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Etapa 13.14.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 13.14.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Etapa 13.14.1.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.14.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Etapa 13.14.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 13.14.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 13.14.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.14.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 13.14.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Etapa 13.14.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Etapa 13.14.1.6

Multiplique $- 72$ por $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Etapa 13.14.2

Subtraia $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 13.14.3

Subtraia $426 \sqrt{35}$ de $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 13.15

Reescreva $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 13.16

Fatore $- 1$ de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.17

Fatore $- 1$ de $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Etapa 13.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Etapa 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6 - \sqrt{35}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 6 - \sqrt{35}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $6 - \sqrt{35}$ na expressão.

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ é um mínimo local

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ é um máximo local

Etapa 17