Cálculo Exemplos

$h (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.12.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13

Simplifique.

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Etapa 1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2

Combine os termos.

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Etapa 1.13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.13.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.4

Reescreva $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.13.2.5

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.6

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.2.9

Some $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 2.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $2$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.2

$f' (x) = (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 4.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Etapa 4.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.12.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.4

Reescreva $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.13.2.5

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.6

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.2.9

Some $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 5.2.2

Since $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{2}}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 5.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.6

O MMC de $2, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 5.2.7

O MMC de $x^{\frac{1}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.8

O MMC de $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1 + 1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.3.5

Divida $2$ por $2$ .

$3 x^{1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.4

Simplifique $3 x^{1}$ .

$3 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$3 x - 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 x - 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Etapa 6.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x = 0$

Etapa 6.3.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 6.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.2.1

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.1.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.1.6

Combine $4$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + 1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} + 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 9.2.2

Some $3^{\frac{3}{2}}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 9.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Etapa 9.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 10

$x = \frac{1}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{- 2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.7

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 11.2.8

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 11.2.9

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 11.2.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.10.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 11.2.10.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 11.2.10.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 11.2.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.2.10.5

Some $1$ e $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 11.2.10.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 11.2.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.10.6.5

Avalie o expoente.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.11

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 11.2.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.2.11.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

Etapa 11.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.13

A resposta final é $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{1}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3

Avalie o expoente.

$\frac{3}{4 \cdot 0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{3}{0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 15