Cálculo Exemplos

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 \arctan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \arctan (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5.1.2

Some $2 \cdot 1 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5.3

Some $2 x$ e $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Etapa 7.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{4}$

Etapa 7.3

Divida $4$ por $4$ .

$1$

Etapa 8

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Etapa 9.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Etapa 9.2.1.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 9.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 9.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.1.3

Reescreva $- 1 \frac{π}{2}$ como $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

A resposta final é $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Etapa 11.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Etapa 11.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$- 1$

Etapa 12

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 13.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Etapa 13.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Etapa 13.2.1.2.3

Fatore $2$ de $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Etapa 13.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Etapa 13.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Etapa 13.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.4

Multiplique $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Etapa 13.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.4.2

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Etapa 13.2.2

A resposta final é $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ é um mínimo local

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ é um máximo local

Etapa 15