Cálculo Exemplos

$V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (10 - 2 x)$ e $g (x) = 16 - 2 x$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Multiplique $10 - 2 x$ por $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Etapa 1.4.8.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Etapa 1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.6

Some $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.7

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.12

Some $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.13

Multiplique $16$ por $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Etapa 1.5.5.14

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Etapa 1.5.5.15

Subtraia $20 x$ de $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Etapa 1.5.5.16

Subtraia $84 x$ de $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Etapa 1.5.5.17

Some $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 104 x + 160$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 104 x] + \frac{d}{d x} [160]$ .

$V'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$V'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$V'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$V'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 104 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 104$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 104 x$ em relação a $x$ é $- 104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 104$ por $1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + \frac{d}{d x} (160)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $160$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $160$ em relação a $x$ é $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $24 x - 104$ e $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.8.1

Multiplique $10 - 2 x$ por $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Etapa 4.1.4.8.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.6

Some $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.7

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.12

Some $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.13

Multiplique $16$ por $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Etapa 4.1.5.5.14

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Etapa 4.1.5.5.15

Subtraia $20 x$ de $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Etapa 4.1.5.5.16

Subtraia $84 x$ de $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Etapa 4.1.5.5.17

Some $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $V (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4$ de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 104 x + 160 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4$ de $- 104 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 160 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4$ de $160$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 4 (40) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4$ de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ e cuja soma é $b = - 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $- 26$ de $- 26 x$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $- 26$ como $- 6$ mais $- 20$

$4 (3 x^{2} + (- 6 - 20) x + 40) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x^{2} - 6 x - 20 x + 40) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$4 ((3 x^{2} - 6 x) - 20 x + 40) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 (3 x (x - 2) - 20 (x - 2)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$4 ((x - 2) (3 x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 20 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.5

Defina $3 x - 20$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $3 x - 20$ como igual a $0$ .

$3 x - 20 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $3 x - 20 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$3 x = 20$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 20$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 20$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (2) - 104$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $24$ por $2$ .

$48 - 104$

Etapa 9.2

Subtraia $104$ de $48$ .

$- 56$

Etapa 10

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$V (2) = (2) (10 - 2 \cdot 2) (16 - 2 \cdot 2)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$V (2) = 2 (10 - 4) (16 - 2 \cdot 2)$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4$ de $10$ .

$V (2) = 2 \cdot (6 (16 - 2 \cdot 2))$

Etapa 11.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$V (2) = 12 (16 - 2 \cdot 2)$

Etapa 11.2.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$V (2) = 12 (16 - 4)$

Etapa 11.2.5

Subtraia $4$ de $16$ .

$V (2) = 12 \cdot 12$

Etapa 11.2.6

Multiplique $12$ por $12$ .

$V (2) = 144$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $144$ .

$y = 144$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{20}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (\frac{20}{3}) - 104$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $24$ .

$3 (8) \frac{20}{3} - 104$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 8 \frac{20}{3} - 104$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$8 \cdot 20 - 104$

Etapa 13.1.2

Multiplique $8$ por $20$ .

$160 - 104$

Etapa 13.2

Subtraia $104$ de $160$ .

$56$

Etapa 14

$x = \frac{20}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{20}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{20}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{20}{3}$ na expressão.

$V (\frac{20}{3}) = (\frac{20}{3}) (10 - 2 (\frac{20}{3})) (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 2 \cdot 20}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Etapa 15.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Etapa 15.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Etapa 15.2.2

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Etapa 15.2.3

Combine $10$ e $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((\frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{10 \cdot 3 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{30 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $40$ de $30$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{- 10}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot (- \frac{10}{3}) \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.7

Multiplique $\frac{20}{3} (- \frac{10}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Multiplique $\frac{20}{3}$ por $\frac{10}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{20 \cdot 10}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.7.2

Multiplique $20$ por $10$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.7.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Etapa 15.2.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Multiplique $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 2 \cdot 20}{3})$

Etapa 15.2.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 40}{3})$

Etapa 15.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - \frac{40}{3})$

Etapa 15.2.9

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3})$

Etapa 15.2.10

Combine $16$ e $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3})$

Etapa 15.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{16 \cdot 3 - 40}{3}$

Etapa 15.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{48 - 40}{3}$

Etapa 15.2.12.2

Subtraia $40$ de $48$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.13

Multiplique $- \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.13.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{200}{9}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{8 \cdot 200}{3 \cdot 9}$

Etapa 15.2.13.2

Multiplique $8$ por $200$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{3 \cdot 9}$

Etapa 15.2.13.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{27}$

Etapa 15.2.14

A resposta final é $- \frac{1600}{27}$ .

$y = - \frac{1600}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$ .

$(2, 144)$ é um máximo local

$(\frac{20}{3}, - \frac{1600}{27})$ é um mínimo local

Etapa 17