Cálculo Exemplos

$v (r) = k (28 r^{2} - r^{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $k (28 r^{2} - r^{3})$ em relação a $r$ é $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $28 r^{2} - r^{3}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.3

Como $28$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $28 r^{2}$ em relação a $r$ é $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.5

Multiplique $2$ por $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.6

Como $- 1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- r^{3}$ em relação a $r$ é $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Etapa 1.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Etapa 1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Etapa 1.9.2

Mova $56$ para a esquerda de $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Etapa 1.9.3

Reordene os termos.

$56 k r - 3 r^{2} k$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $56 k r - 3 r^{2} k$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [56 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$v'' (r) = \frac{d}{d r} (56 k r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d r} [56 k r]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $56 k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $56 k r$ em relação a $r$ é $56 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$v'' (r) = 56 k \frac{d}{d r} (r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$v'' (r) = 56 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $56$ por $1$ .

$v'' (r) = 56 k + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3 k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 3 r^{2} k$ em relação a $r$ é $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k \frac{d}{d r} r^{2}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k (2 r)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$v'' (r) = 56 k - 6 k r$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$v'' (r) = - 6 k r + 56 k$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Como $k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $k (28 r^{2} - r^{3})$ em relação a $r$ é $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $28 r^{2} - r^{3}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 4.1.3

Como $28$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $28 r^{2}$ em relação a $r$ é $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 4.1.6

Como $- 1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- r^{3}$ em relação a $r$ é $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Etapa 4.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Etapa 4.1.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Etapa 4.1.9

Simplifique.

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Etapa 4.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Etapa 4.1.9.2

Mova $56$ para a esquerda de $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Etapa 4.1.9.3

Reordene os termos.

$f' (r) = 56 k r - 3 r^{2} k$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $v (r)$ com relação a $r$ é $56 k r - 3 r^{2} k$ .

$56 k r - 3 r^{2} k$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $56 k r - 3 r^{2} k = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Etapa 5.2

Fatore $k r$ de $56 k r - 3 r^{2} k$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $k r$ de $56 k r$ .

$k r (56) - 3 r^{2} k = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $k r$ de $- 3 r^{2} k$ .

$k r (56) + k r (- 3 r) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $k r$ de $k r (56) + k r (- 3 r)$ .

$k r (56 - 3 r) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r = 0$

$56 - 3 r = 0$

Etapa 5.4

Defina $r$ como igual a $0$ .

$r = 0$

Etapa 5.5

Defina $56 - 3 r$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $56 - 3 r$ como igual a $0$ .

$56 - 3 r = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $56 - 3 r = 0$ para $r$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $56$ dos dois lados da equação.

$- 3 r = - 56$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 3 r = - 56$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 r = - 56$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 56}{- 3}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$r = \frac{56}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $k r (56 - 3 r) = 0$ verdadeiro.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $r = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 k \cdot 0 + 56 k$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 6 k \cdot 0$ .

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Etapa 9.1.1

Multiplique $0$ por $- 6$ .

$0 k + 56 k$

Etapa 9.1.2

Multiplique $0$ por $k$ .

$0 + 56 k$

Etapa 9.2

Some $0$ e $56 k$ .

$56 k$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11